2017年6月25日

集会の合間に東京へ.数学通信の編集会議に参加.始めて数学会の建物に入った.場所すら知らなかった…….最寄り駅は秋葉原で,電気街とは逆方向.終わって今日は京都に戻ってきた.先週と同じホテルなのだけど,なぜか先週も今週もツイン.不思議.

2017年6月23日

終了.会場の準備や片付けはRIMSの人がやってくれるし,集会自身の進行は座長がしてくれるので,自分はいただけという感じだった.

2017年6月20日

一日目.頑張って朝起きた.空港までは結構混んでいた.みなさん朝早起きお疲れです.集会は一応予定通り.終わったらとまつさんが現れた.いるなんて知らなかったけど…….

2017年6月19日

明日から京都.考えてみたら今年(今年度でなく)初めての研究集会参加.明日昼過ぎに京大につくために,朝7:40発の飛行機に乗る予定.家を出るのは六時くらいかなぁ.空港つくのが予定通りならば7:10くらいと少し不安があるけど,朝だし大丈夫だろう.それより早くには出たくないし…….

行く準備をしようとして長袖を入れかけた.あぶねー.で,天気予報も見てみる.……33度!?

2017年6月18日

lua-visual-debug

boxがどうなっているかとかは\showboxとか\tracingoutput=1とかで出るけど,やっぱり見た目でみたいなぁと思うこともあって,ググってみた.LuaTeX限定だけど見つかったのがlua-visual-debugというパッケージ.何度か見つけて(つまりググってみつけて忘れてまたググるのをくり返した)のでメモ.使い方は簡単で単に読み込めばよい.

\documentclass[lualatex]{jlreq}
\usepackage{lua-visual-debug}
\begin{document}
これはテストです.
\end{document}
これで出力されたPDFに箱が色分けされて表示される.色の意味はtexdoc lua-visual-debug参照.

2017年6月17日

いい天気.暑くもなく寒くもなく雨も降らず.今週はわりと気持ちいい天気が続いている.

2017年6月13日

単因子論

学生のセミナーでEuclid環上での単因子論をやっていて,そういえばPID上でどうやるんだっけと思って本を探してみたら証明が見つからず.というわけで証明をメモる.他の先生が授業でやっていた証明(多分普通の証明)を基底をとらないようにしたもの.

$R$をPID,$M,N$をそれぞれ階数$m,n$の自由$R$加群,$f\colon N\to M$を$R$準同型とすると,適当な同型$M\simeq R^m$,$N\simeq R^n$の元で$f$は \[ \begin{pmatrix} d_1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & d_r & & \\ & & & 0 & \\ & & & & \ddots \end{pmatrix} \] という形になり,$d_1|d_2|\cdots|d_r$.

以下$R$をPIDとする.まずは簡単な補題を準備.

有限生成自由$R$加群の部分加群は自由.

$M$を階数$m$の自由$R$加群,$M_1\subset M$を部分加群とし,$M_1$が自由であることを$m$に関する帰納法で示す.$m = 1$の時はPIDの定義そのもの.$m > 1$とし,$M = M'\oplus M''$と階数の小さい自由加群の直和に分解し,$p\colon M\to M''$を自然な射影,とすると, \[ 0\to M'\cap M_1\to M_1\to p(M_1)\to 0 \] は完全で,$M'\cap M_1\subset M'$,$p(M_1)\subset M''$は帰納法の仮定から自由.特に$p(M_1)$は射影的なので上の完全系列は分裂し,$M_1\simeq (M'\cap M_1)\oplus p(M_1)$も自由.

も一つ補題.

$M$を自由$R$加群,$M_1\subset M$を部分加群,$d\in R$とすると,$M_1\subset dM\Leftrightarrow$ 任意の$\psi\colon M\to R$に対して$\psi(M_1)\subset dR$.

$M_1\subset dM$ならば任意の$\psi\colon M\to R$に対して$\psi(M_1)\subset \psi(dM) = d\psi(M) \subset dR$である.逆に任意の$\psi\colon M\to R$に対して$\psi(M_1)\subset dR$であるとし,$M_1\subset dR$を示す.$M = R^m$として良い.$p_i\colon M\to R$を$i$番目の射影とすると,任意の$x\in M_1$に対して$p_i(x)\in dR$.つまり$x$の全ての成分は$dR$に属しているので,$x\in dM$.

定理を示す.$f,M,N$を定理の通りとし,$m$に関する機能で$d_1,\ldots,d_r$が存在することを示す.$\mathcal{C} = \{\psi(f(n))R\mid \psi\colon M\to R,n\in N\}$とすると,これは$R$のイデアルの族であり空ではない.$R$はPID,特にNoetherなので$\mathcal{C}$は極大元を持つ.それを$d_1R$とし,$d_1 = \psi_0(f(n_0))$となる$\psi_0\colon M\to R$と$n_0\in N$をとる.

$\{\psi(f(n_0))\mid \psi\colon M\to R\} = d_1R$.

左辺は$R$の部分加群であるから,$R$がPIDであることによりある$d\in R$に対して$dR$とかける.$d_1 = \psi_0(f(n_0))$は左辺に属するので$d_1\in dR$,つまり$d_1R\subset dR$.一方$d = \psi(f(n_0))$とある$\psi\colon M\to R$に対してかけるので,$dR\in \mathcal{C}$.よって$d_1R$の極大性から$d_1R = dR$となる.

同様の議論で次を得る.

$\psi_0(f(N)) = d_1R$.

補題4から任意の$\psi\colon M\to R$に対して$\psi(Rf(n_0))\subset d_1M$である.補題3を$M_1 = Rf(n_0)$に適用しすると,$Rf(n_0)\subset d_1M$,つまり$f(n_0)\in d_1M$がわかる.$m_0\in M$を$f(n_0) = d_1m_0$ととると,$d_1 = \psi_0(f(n_0)) = \psi_0(d_1m_0) = d_1\psi_0(m_0)$より$\psi_0(m_0) = 1$. よって$1\mapsto m_0$により定義される$R\to M$は$\psi\colon M\to R$の分裂を与えるので,$M = Rm_0\oplus\mathrm{Ker}\psi$.

まだ補題5から$\psi_0\circ f$は$N$から$d_1R$への準同型と見なせる.$\psi_0(f(n_0)) = d_1$であるので,$d_1\mapsto n_0$により定義される$d_1R\to N$は$\psi_0\circ f\colon N\to d_1R$の分裂を与え,$N = Rn_0\oplus\mathrm{Ker}(\psi_0\circ f)$.$f(n_0) = d_1m_0$であり,また明らかに$f(\mathrm{Ker}\psi\circ f)\subset \mathrm{Ker}\psi$.つまり$R\oplus \mathrm{Ker}(\psi_0\circ f)\simeq Rn_0\oplus \mathrm{Ker}(\psi_0\circ f) = N\to M = Rm_0\oplus \mathrm{Ker}\psi_0 \simeq R\oplus \mathrm{Ker}\psi_0$は \[ \begin{pmatrix} d_1 & 0\\ 0 & f|_{\mathrm{Ker}(\psi_0\circ f)} \end{pmatrix} \] と表される.冒頭の補題から$\mathrm{Ker}(\psi_0\circ f)$は自由,よってこれに対して帰納法の仮定を使うと$d_2,\ldots,d_r$が存在し,$d_2|\cdots|d_r$である.

$\psi\colon M\to R$を$M\simeq R^m$を通じて$(x_1,\ldots,x_m)\mapsto \sum_i a_ix_i$と書くと,$n = (y_1,\ldots,y_n)\in R^n\simeq N$に対して$\psi(f(n))$は$\sum_i a_id_iy_i$となる.とくにうまく$a_i,y_i$をとると$\psi(f(n)) = \mathrm{gcd}(d_1,\ldots,d_r)$となるので,$\mathrm{gcd}(d_1,\ldots,d_r)R\in \mathcal{C}$.$\mathrm{gcd}(d_1,\ldots,d_r)R\subset d_1R$と$d_1R$の極大性から$\mathrm{gcd}(d_1,\ldots,d_r)R = d_1R$,つまり$d_1|d_2$.