Dynkin図形を描こう

LaTeXで．

dynkin-diagramsパッケージ

Dynkin図形を描きたいという話．dynkin-diagramsというそのものっぽいパッケージがあることに気がついた．使ってみた．Tikzを中で使うので，dvipdfmx利用の場合はドライバ指定を忘れないように．platex+dvipdfmxの場合は

\documentclass[dvipdfmx]{jlreq}
\usepackage{dynkin-diagrams}
\usetikzlibrary{backgrounds}

とする．pdflatexの場合はドライバ指定は不要．

基本書式

\dynkinという命令が用意されている．書式は

\dynkin[<オプション>]{型}{ランク}

である．ランクが空の場合は一般っぽくなる．

$B_3$：\dynkin{B}{3}

$D_4$：\dynkin{D}{4}

$E_8$：\dynkin{E}{8}

$A_n$：\dynkin{A}{}

線の長さが短いとか思っちゃう場合はオプションで解消できる（後で）．ランクを空にすると，途中の辺が破線になる．この場所は適当に決まっているけど，変えたい場合は，決まったランクのDynkin図形の辺の一部を破線にすることでできる．オプションmakeIndefiniteEdgeを使う．

もともと：\dynkin{A}{}，
変更：\dynkin[makeIndefiniteEdge={1-2}]{A}{4}

\dynkin[makeIndefiniteEdge={1-2},makeIndefiniteEdge={3-4}]{A}{4}のように，複数指定することもできる．頂点の番号付けはBourbakiに従う．（後のlabelオプションも参考．）

affine型は型の後にオプション引数を与える．記号はKacの本に従っているようだ．

$A_5^{(1)}$：\dynkin{A}[1]{5}

$D_4^{(3)}$：\dynkin{D}[3]{4}

オプションextendedにより，拡大Dynkin図形を描くことも可能．

$A_1$の拡大Dynkin図形：\dynkin[extended]{A}{1}

$E_7$の拡大Dynkin図形：\dynkin[extended]{E}{7}

0番目の頂点（加わった頂点）だけ白丸になるのが嫌ならば，\dynkin[extended,affineMark=*]{E}{7}とすれば良い．また，オプションKacを指定すると，見た目がKacの本っぽくなる．

\dynkin[Kac,extended]{A}{3}

佐武図形も描けるよ．（記号はHelgasonの本に従う．）

\dynkin{A}{IIIa}

Coxeterグラフを描きたい場合はオプションCoxeterを指定すればよい．

\dynkin[Coxeter]{B}{4}

スタイル指定

見た目の指定もオプションでできる．

\dynkin[radius=1mm, % 頂点の半径を1mmにする
  edgeLength=1cm, % 辺の長さは3cm
  label, % 頂点にラベルをつける
  mark=o, % 頂点は白丸
]{E}{8} % で，E8を表示

パッケージ読み込み時に指定しておけば，文書内全てに適用される．

\usepackage[radius=1mm,edgeLength=1cm,label,mark=o]{dynkin-diagrams}

ラベル

上述のように，オプションlabelにより頂点にラベルをつけることができる．順番はBourbaki式だが，他の指定もある．

\dynkin[label]{E}{8}
\dynkin[label,ordering=Adams]{E}{8}
\dynkin[label,ordering=Carter]{E}{8}
\dynkin[label,ordering=Dynkin]{E}{8}
\dynkin[label,ordering=Kac]{E}{8}

ラベルは通常数字がつくだけだが，オプションlabelMacro/.codeでカスタマイズできる．

\dynkin[label,labelMacro/.code={\alpha_{#1}}]{A}{3}% #1がラベル番号になる．

Tikz環境内に飛び込み，\dynkinLabelRootを使えば個別にラベルをつけることもできる．

\begin{tikzpicture}
\dynkin[mark=o,extended]{B}{3} % B3の拡大Dynkin図形を，頂点を白丸にして描く
\dynkinLabelRoot{0}{\textit{hs}}
\dynkinLabelRoot{1}{\textit{hs}} % 0,1番目の頂点に「hs」というラベルをつける
\end{tikzpicture}

頂点

上述のように，頂点はオプションmarkで変更できる．デフォルトの黒丸は*で，白丸にするにはo．他の指定は次のような感じ．

\dynkin[mark=O]{A}{3}
\dynkin[mark=t]{A}{3}
\dynkin[mark=x]{A}{3}
\dynkin[mark=X]{A}{3}

affine型の場合は，0番目の頂点に対してはオプションaffineMarkで指定する．

\dynkin[mark=x,affineMark=O]{A}[1]{3}

一部だけ変更したい場合は，Tikz環境内に入ってから\dynkinRootMarkを使う．

\begin{tikzpicture}
\dynkin[mark=o]{A}{5}
\dynkinRootMark{*}{2} % 2番目の頂点を黒丸に変更
\dynkinRootMark{O}{4} % 4番目の頂点を二重丸に変更
\end{tikzpicture}

affine型ならば，\dynkinRootMark{x}{0}のようにすると0番目の頂点を変更できる．（もちろんaffineMark=xと等価．）

\dynkinの第二引数はランクだったけど，ここに頂点表示のリストを並べることもできる．

\dynkin{A}{x*oOtX}% A6型

affine型の場合に0番目の頂点をこの方法で指定することはできないので，affineMarkを使う．

リストの途中に.（ピリオド）があると，makeIndefiniteEdgeと同じ効果を及ぼす．

\dynkin{A}{**.x.oo}

folding

Dynkin図形のfoldingも実装されている．（ただし「limited support」とのこと．）ply=<n>をオプションに入れることで，最大$n$個のルートが一つに潰れているfoldingを表す．例えば次の通り．

\dynkin[ply=2]{D}{4}

\dynkin[ply=3]{D}{4}

ply=2の省略形（？）としてfoldが用意されている，$D_n^{(1)}$型にfoldを指定すると左右両方ともfoldされる．左のみ，右のみとしたい場合はfoldleftやfoldrightを指定する．

\dynkin{D}[1]{}
\dynkin[foldleft]{D}[1]{}
\dynkin[foldright]{D}[1]{}
\dynkin[fold]{D}[1]{}

Tikz環境に入れば，\dynkinFoldによりもっと直接に指定できる．

\begin{tikzpicture}
\dynkin{D}{4}
\dynkinFold[bend left=60]{3}{4}
\end{tikzpicture}

bend rightオプションで二つのルートをつなげている線が曲がる．60は曲がっている部分の角度．

$\mathfrak{so}(2p+1,2q+1)$のVogan図形

\dynkin[fold]{D}{oo.o*o.oooo}